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StrategiaNo Limit (NL)

Equilibrio di Nash e frequenze di bluffing/calling

Introduzione

In questo articolo
  • Un'introduzione alla teoria dei giochi
  • L'equilibrio di Nash e le sue implicazioni
  • Le frequenze di betting e calling

La teoria dei giochi è una branca della matematica che analizza alcuni tipi di situazioni conflittuali o di gioco. In questo contesto, il termine "gioco" indica quelle situazioni in cui svariati partecipanti si sfidano per impossessarsi di alcune risorse e in cui ciascun partecipante segue una strategia, che può avere una componente cooperativa e può produrre profitto.

Un concetto cruciale nella teoria dei giochi è il cosiddetto Equilibrio di Nash, che descrive uno stato di equilibrio strategico tra i giocatori, in cui ciascun giocare conosce la migliore risposta all'azione avversaria e nessun giocatore è in grado di aumentare il proprio profitto qualora fosse l'unico a modificare la propria strategia.

Questo articolo presenta un'introduzione alla teoria dei giochi, uno sguardo agli equilibri di Nash come strategia risolutiva e l'applicazione degli equilibri di Nash attraverso l'esempio delle frequenze di betting e calling. Per comprendere questo articolo, è necessario possedere alcune conoscenze principali nell'ambito della teoria delle matrici.

Breve introduzione alla teoria dei giochi

In senso matematico, un gioco è composto da:

  • un insieme di giocatori;
  • un insieme di tutte le strategie (pure) di tutti i giocatori, una per ciascun giocatore;
  • una funzione che associa a ciascun profilo strategico (ossia ad ogni scelta strategica dei giocatori) una matrice di payout, che determina il payout per ciascun giocatore. Questa funzione determina il risultato ottenuto dai giocatori che scelgono una determinata strategia per giocare.

La restante parte dell'articolo è dedicata al gioco con due partecipanti, in tal caso un gioco può essere molto facilmente rappresentato da due matrici A e B, m x n. Il giocatore 1 quindi ha m strategie (S1,...,Sm) mentre il giocatore 2 ha n strategie (S'1,...,S'n). Se il giocatore 1 sceglie la strategia Si e il giocatore 2 sceglie S'j, allora il payout sarà Aij per il giocatore 1 e Bij per il giocatore 2.

payout per il giocatore 1:




S'1

S'2

...

S'n

S1

A11

A12

...

A1n

S2

A21

A22

...

A2n

...

...

...

...

...

Sm

Am1

Am2

...

Amn


Se, ad esempio, A=B= I2 (matrice unitaria 2x2), allora entrambi i giocatori riceveranno il payout 1 qualora entrambi sceglieranno la prima o la seconda strategia, in caso contrario entrambi riceveranno il payout 0.

I giocatori possono utilizzare anche strategie miste, ciò significa che una serie di strategie pure vengono giocate con una determinata probabilità, che chiaramente somma al 100%. Una strategia mista può essere rappresentata da un vettore p, in cui pi rappresenta la probabilità che venga giocata la strategia i.

Se il giocatore 1 gioca la strategia mista p ed il giocatore 2 gioca la strategia mista q, si ottengono i payout pAq e pBq. (Per strategie pure, questo porta al valore corrispondente nella rispettiva matrice.)

Per il giocatore 1, la strategia p viene definita come la 'migliore risposta' alla strategia q del giocatore 2, se p produce il payout massimo per il giocatore 1, ossia se si verifica quanto segue:

pAq >= p'Aq per tutte le strategie p' del giocatore 1.

Per analogia, per il giocatore 2 la strategia q viene definita come la migliore risposta alla strategia p del giocatore 1, se si verifica quanto segue:

pBq >= pBq' per tutte le strategie q' del giocatore 2.

Una coppia di strategie (p,q), in cui p è la strategia del giocatore 1 e q quella del giocatore 2, viene definita 'Equilibrio di Nash (NEQ)' se p è la migliore risposta a q e q è la migliore risposta a p.

È dimostrabile che esista almeno un NEQ in ciascun gioco, sebbene non necessariamente nelle strategie pure.

Un NEQ non è necessariamente un ottimo di Pareto (un NEQ è un ottimo paretiano se, non potendo modificare il NEQ, uno dei due giocatori riceve un payout maggiore senza ridurre il payout dell'altro giocatore).
D'altro canto, una coppia di strategie ottimale per Pareto non è necessariamente un NEQ. Un esempio noto per una simile coppia di strategie è il dilemma del prigioniero, che però non tratteremo nei dettagli. Altri aspetti interessanti dell'equilibrio che non verranno però presi in esame sono le strategie evolutivamente stabili (in inglese) e l'equilibrio correlato.

Se entrambi i giocatori hanno solo due strategie pure, allora esiste un metodo molto semplice per determinare quale strategia produrrà il NEQ, in questo caso si può utilizzare l'esempio A=B=I2 riportato in alto.

La strategia p del giocatore 1 ha la forma (a,1-a) con a pari a [0,1], mentre la strategia del giocatore 2 ha la forma (b,1-b) con b pari a [0,1]. Ora cerchiamo la migliore risposta del giocatore 1 alla strategia (b,1-b) del giocatore 2: per fare ciò, è possibile confrontare i payouts delle strategie (1,0) e (0,1) (ad esempio i payouts delle strategie pure in ciascuna delle due righe).

Se il giocatore 1 sceglie la prima riga della matrice, allora il suo payout sarà b, mentre se sceglie la seconda riga, il suo payout sarà 1-b. Per b > 1-b, che equivale a b > 0.5, la migliore risposta è la prima riga, in altre parole a = 1. Parimenti, per b < 0.5 la seconda riga è la migliore, vale a dire a = 0. Per b = 0,5 il giocatore 1 riceve un payout di 1/2. Pertanto, qualsiasi strategia è la risposta migliore.

Ripetiamo questa procedura per il giocatore 2. Data la simmetria dell'esempio, poniamo b=1 per a > 0.5, b = 0 per a < 0.5 e qualsiasi b pari a [0,1] per a = 0.5.

I NEQ sono definiti come una coppia di strategie, in cui ciascuna strategia è la migliore risposta alla strategia dell'avversario. In un grafico, i NEQ corrispondono all'intersezione degli insiemi.

I NEQ di questo gioco sono ((1,0),(1,0)), ((0,1),(0,1)) e ((0.5,0.5),(0.5,0.5)).
 

Questo non è l'articolo intero...

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